[Acrobat]

В общем, проблема решилась. Взял второй брелок на проверку - всё работает, только опять же пишет, что батарейка разряжена. Т.е. в машине всё ок, проблема в первом брелке.
Полная разборка показала наличие какой-то пыли и немного мусора (чем-то похожего на опилки о_О). Всё продул, вычистил, проверил дорожки платы на наличие окислов (не выявил).
И, пожалуй самое главное, подогнул усики контактов батарейки, чтоб та поплотнее вставала.
Собрал, всё работает, как новое. Даже в перчатках зимних открывается.
Рекомендую данный метод, как самое первое, с чего стоит начать устранять проблему.