Плавится - значит нагревается.
Нагревается - значит большой ток и (или) плохой контакт в месте соединения.
Надо не на скрутки соединять, а пайкой. А по уму надо ставить силовое реле. Обмотку реле запитать от слаботочных цепей, где есть "плюс" при повороте ключа. А силовые контакты подключить к плюсу батареи через предохранитель и к лампам. Для ламп на 60W пред ампер на 15 надо.